(AB)ᵢⱼ 的下标怎么读

矩阵乘法定义里 i、j、k 各管什么。后面所有关于迹和乘法的推导都建立在这个读法上。

12 题

定义

(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}

读法: $(AB)_{ij}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列做点积。第一个下标 $i$ 来自 $A$ ,决定行;第二个下标 $j$ 来自 $B$ ,决定列; $k$ 是被求和掉的“中间维度”, $A$ 的列数 $=$ $B$ 的行数 $=n$ 。

记忆方式:下标 $ik$ 、 $kj$ 首尾相接, $k$ 在中间相遇后消失,留下 $ij$ 。

点积视角:把 $A$ 的第 $i$ 行看成一个行向量 $a_i=(A_{i1},A_{i2},\dots,A_{in})$ ,把 $B$ 的第 $j$ 列看成一个列向量 $b_j=(B_{1j},B_{2j},\dots,B_{nj})$ ,那么

(AB)_{ij}=a_i\cdot b_j=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}

$\sum_k$ 就是点积的展开:两个长度为 $n$ 的向量,对应位置相乘再加起来。 $k$ 是“第几个分量”。所以 $\sum_{k=1}^{2}A_{ik}B_{ki}$ 读作: $A$ 的第 $i$ 行向量与 $B$ 的第 $i$ 列向量做点积,两个向量各有 2 个分量。

行、列的记号(这套题用 NumPy 写法):NumPy 里 A[1, :] 是 $A$ 的第 2 行,B[:, 0] 是 $B$ 的第 1 列。方括号里逗号前管行、逗号后管列,冒号表示这一维全取,索引从 0 数。只写一个索引 A[1] 默认取行。

A[1, :]          # A 的第 2 行,也可写 A[1]
B[:, 0]          # B 的第 1 列
A[1] @ B[:, 0]   # 一个数,等于 (A @ B)[1, 0]
(A @ B)[1, 0]    # 数学上的 (AB)_{21}

数学课本的对应记号是 $A_{2,:}$ 、 $B_{:,1}$ (从 1 数),也有人写 $\operatorname{row}(A,2)$ 、 $a_2$ 。填空时两套都接受,但各自的起始不能混: $A_{2,:}$ 和 A[1, :] 是同一行,A[2, :] 是第 3 行。

于是 $(AB)_{ij}=A_{i,:}\cdot B_{:,j}$ ,NumPy 写 (A @ B)[i-1, j-1] == A[i-1] @ B[:, j-1]。下标 $i$ 落在 $A$ 的行位, $j$ 落在 $B$ 的列位。

题目

第 1 到 4 题和第 7 题里, $A$ 是 $3\times2$ , $B$ 是 $2\times4$ 。第 5、6 题把 $B$ 换成 $2\times3$ ,这样 $AB$ 和 $BA$ 才都是方阵,迹才有定义。

1. 形状与中间维度

$AB$ 是几乘几? $k$ 从 1 跑到几?

$2\times2$ , $k$ 到 3
$3\times4$ , $k$ 到 3
$3\times4$ , $k$ 到 2
$4\times3$ , $k$ 到 2

解析

外形取 $A$ 的行数和 $B$ 的列数: $3\times4$ 。 $k$ 跑的是中间维度, $A$ 有 2 列、 $B$ 有 2 行,所以到 2。选 B 的人把中间维度和 $A$ 的行数搞混了。

2. 展开 $(AB)_{31}$

$(AB)_{31}$ 等于哪一个?

$A_{31}B_{11}+A_{32}B_{21}$
$A_{13}B_{11}+A_{23}B_{21}$
$A_{11}B_{31}+A_{21}B_{32}$
$A_{31}B_{11}+A_{31}B_{21}$

解析

$A$ 的第 3 行是 $(A_{31},A_{32})$ , $B$ 的第 1 列是 $(B_{11},B_{21})$ ,点积得 A。 B 把 $A$ 的行下标写到了第二位,取的是 $A$ 的第 3 列,但 $A$ 只有 2 列。 C 用了 $B$ 的第 3 行, $B$ 只有 2 行。 D 的 $A$ 下标没有随 $k$ 变,不是点积。

3. 展开 $(AB)_{24}$

$A_{21}B_{41}+A_{22}B_{42}$
$A_{21}B_{14}+A_{22}B_{24}$
$A_{12}B_{41}+A_{22}B_{42}$
$A_{24}B_{11}+A_{24}B_{21}$

解析

$A$ 的第 2 行 $(A_{21},A_{22})$ 点 $B$ 的第 4 列 $(B_{14},B_{24})$ 。 $B$ 的列下标 4 要写在第二位。A 和 C 把 4 写到了 $B$ 的行位置, $B$ 没有第 4 行。

4. 对角线元素

$(AB)_{ii}$ 用的是什么和什么做点积?

$A$ 的第 $i$ 行, $B$ 的第 $i$ 列
$A$ 的第 $i$ 列, $B$ 的第 $i$ 行
$A$ 的第 $i$ 行, $B$ 的第 $i$ 行
不做点积,就是 $A_{ii}B_{ii}$

解析

对角线只是定义里把 $j$ 换成 $i$ ,读法不变: $(AB)_{ii}=\sum_{k}A_{ik}B_{ki}$ , $A$ 取行、 $B$ 取列。D 是最常见的错觉, $(AB)_{ii}$ 是一个和,不是单项乘积。

5. 迹的双重求和

这一题 $A$ 是 $3\times2$ , $B$ 是 $2\times3$ 。 $\operatorname{tr}(AB)$ 展开成双重求和,范围是哪一个?

$\sum_{i=1}^{3}\sum_{k=1}^{2}A_{ik}B_{ki}$
$\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{3}A_{ik}B_{ki}$
$\sum_{i=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}A_{ik}B_{ki}$
$\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{2}A_{ik}B_{ki}$

解析

外层 $i$ 跑对角线, $AB$ 是 $(3\times2)(2\times3)=3\times3$ ,所以到 3;内层 $k$ 跑中间维度,到 2。两个范围来自不同的地方,不能都写成 3 或都写成 2。顺带一提,原来 $B$ 是 $2\times4$ 时 $AB$ 是 $3\times4$ ,不是方阵,迹没有定义。

6. 换成 $BA$

仍取 $A$ 是 $3\times2$ , $B$ 是 $2\times3$ 。(原来的 $B$ 是 $2\times4$ 时, $B$ 有 4 列、 $A$ 有 3 行, $BA$ 乘不了。)

$BA$ 是几乘几?

写出 $(BA)_{jj}$ 的 $\sum$ 形式,注意求和变量跑的范围变了。

解析

$BA$ 是 $(2\times3)(3\times2)=2\times2$ 。能相乘的条件是 $B$ 的列数等于 $A$ 的行数,这里都是 3。

$BA$ 里 $B$ 在左,取 $B$ 的第 $j$ 行 $B_{ji}$ ; $A$ 在右,取 $A$ 的第 $j$ 列 $A_{ij}$ 。中间维度是 $B$ 的列数 $=A$ 的行数 $=3$ ,所以

(BA)_{jj}=\sum_{i=1}^{3}B_{ji}A_{ij}

求和变量叫 $i$ 还是 $k$ 无所谓,两个因子先后顺序也无所谓(标量可交换),但范围必须是 3,行列下标不能反。

7. 判断

$\sum_{k}A_{ik}B_{ki}$ 是谁的对角元?

$(AB)_{ii}$
$(BA)_{ii}$
两者都是,因为 $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$
$(A^{\mathsf T}B)_{ii}$

解析

看第一个因子 $A_{ik}$ :第一个下标是 $i$ ,取的是 $A$ 的第 $i$ 行,所以 $A$ 在左,是 $(AB)_{ii}$ 。 $(BA)_{ii}$ 会写成 $\sum_k B_{ik}A_{ki}$ 。 C 混淆了两件事:迹相等是求和之后的标量相等,单个对角元 $(AB)_{ii}$ 和 $(BA)_{ii}$ 一般不相等。在本题的形状下( $B$ 是 $2\times4$ , $A$ 是 $3\times2$ ) $BA$ 甚至没有定义;换成第 5、6 题的形状, $AB$ 是 $3\times3$ 、 $BA$ 是 $2\times2$ , $i$ 的范围也不同。

8. 数值题 (一)

$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ 。先说出 $(AB)_{12}$ 用的是 $A$ 的哪一行、 $B$ 的哪一列,再算出数值填在下面。

解析

$A$ 的第 1 行 $(1,2)$ 点 $B$ 的第 2 列 $(1,0)$ : $1\cdot1+2\cdot0=1$ 。算出 3 的人用了 $B$ 的第 2 行 $(1,0)$ 点 $A$ 的第 1 列 $(1,3)$ ,那是 $(BA)_{21}$ 。

9. 数值题 (二)

同上 $A$ 、 $B$ 。 $\operatorname{tr}(AB)$ 和 $\operatorname{tr}(BA)$ 分别是?

$5$ 和 $6$
$5$ 和 $5$
$4$ 和 $4$
$10$ 和 $10$

解析

$AB=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$ , $\operatorname{tr}(AB)=2+3=5$ 。 $BA=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}$ , $\operatorname{tr}(BA)=3+2=5$ 。两个矩阵不同,迹相同。 $10$ 是 $\operatorname{tr}(A)\cdot\operatorname{tr}(B)$ 之类的误算,迹对乘法不是同态。

10. 语义题

$\sum_{k=1}^{2}A_{ik}B_{ki}$ 用向量的语言说,是什么?

$A$ 的第 $i$ 行向量 $(A_{i1},A_{i2})$ 与 $B$ 的第 $i$ 列向量 $(B_{1i},B_{2i})$ 的点积
$A$ 的第 $i$ 列向量与 $B$ 的第 $i$ 行向量的点积
$A$ 的第 $i$ 行向量与 $B$ 的第 $i$ 行向量的点积
$A$ 的第 $i$ 行向量的长度乘 $B$ 的第 $i$ 列向量的长度

解析

$k$ 跑的是向量的分量编号。 $A_{ik}$ 里 $i$ 固定、 $k$ 变,取的是第 $i$ 行横着走; $B_{ki}$ 里 $k$ 变、 $i$ 固定,取的是第 $i$ 列竖着走。对应分量相乘再求和,就是点积。 D 是 $\|a_i\|\,\|b_i\|$ ,点积等于它再乘夹角余弦,只有两向量同向时才相等。

11. 数值题 (三)

$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ 。把 $(AB)_{21}$ 拆成点积,分两层填:先用 NumPy 记法指出取的是哪一行、哪一列(从 0 数,符号栏有 [□, :] 和 [:, □] 键),再写出具体数值。

行向量的记法:

行向量的数值,写成 $(x,y)$ :

列向量的记法:

列向量的数值,写成 $(x,y)$ :

点积结果:

解析

$(AB)_{21}$ :第一个下标 2 落在 $A$ 的行位,是 $A$ 的第 2 行,NumPy 索引 1,写 A[1, :],数值 $(3,4)$ ;第二个下标 1 落在 $B$ 的列位,是 $B$ 的第 1 列,NumPy 索引 0,写 B[:, 0],数值 $(0,1)$ 。

(AB)_{21}=3\cdot0+4\cdot1=4

A[1] @ B[:, 0]    # 4
(A @ B)[1, 0]     # 4

对照第 9 题的 $AB=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$ ,左下角正是 4。常见错法:写 A[2, :] 是把数学下标直接搬进 NumPy,那是第 3 行,越界;填 $(1,3)$ 是取了 $A$ 的第 1 列;a2 没有下划线,在 LaTeX 里是两个并列符号,要写 a_2。

12. NumPy 与数学下标

(A @ B)[1, 0] 对应数学上的哪个元素?

$(AB)_{10}$
$(AB)_{21}$
$(AB)_{12}$
$(BA)_{21}$

解析

NumPy 从 0 数,数学从 1 数,两个索引各加一:[1, 0] 是第 2 行第 1 列, $(AB)_{21}$ 。 A 直接照搬数字;C 把行列反了;D 把 A @ B 读成了 $BA$ ,@ 的左右顺序就是矩阵乘法的顺序。

在 Mathlib 里

这一步就是 Matrix.mul_apply:

theorem Matrix.mul_apply : (M * N) i k = ∑ j, M i j * N j k

Mathlib 用 j 当中间变量、k 当列下标,字母和课本不同,形状一样:左因子的第二个下标和右因子的第一个下标相同,被求和掉。对迹做推导时 i = k,Lean 会自动统一。trace_transpose_mul 的证明只写了 Finset.sum_comm,是因为 trace 和 * 按定义展开(mul_apply)是定义性相等,rfl 级别,不需要显式引用。